Question

已知函数f(x)=

1 |x-1 x≠1 1         x=1

，若关于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0的5个不同实数解恰能构成等差数列，则b的值等于（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-3或-

  3

  2

• D、-3

Answer 1

分析：设方程的解为f₁，f₂，因为共五个实根以及f（x）的对称性，不妨设f（x）=f₁有三个实根，则有一根为1，即f（x）=1，进而求得x₁，x₂，x₃，又根据x₄-1=1-x₅和5个不同实数解恰能构成等差数列，进而确定x₄和x₅的值，求得f₂，最后根据韦达定理求得b．

解答：解：[f（x）]²+bf（x）+c=0是一个关于f（x）的二次方程，设它的解为f₁，f₂
得到方程
f（x）=f₁
或f（x）=f₂
因为共五个实根以及f（x）的对称性，
不妨设f（x）=f₁有三个实根
则有一根为1
f（x）=1
∴x₁=1，x₂=2，x₃=0
则f（x）=f₂的解为x₄，x₅
∴x₄-1=1-x₅
即x₄+x₅=2
∵5个不同实数解恰能构成等差数列，
只有x₄=-1，x₅=3和x₄=

1

2

，x₅=

3

2

时符合题意
∴f₂=

1

2

或2
∵-b=f₁+f₂，
∴b=-3或-

3

2

故选C

点评：本题主要考查了函数根的判断和分段函数的应用．需要利用函数的对称性来分析根的分布，属中档题．