Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=12，E为CD的中点；将△DAE沿AE折起，使面DAE⊥面ABCE；再过D作DQ∥AB，且DQ=AB，
（Ⅰ）求证：面ADE⊥面BEQ；
（Ⅱ）求直线BD与面ADE所成角的正切值；
（Ⅲ）求点Q到面ADE的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：折叠前，在矩形ABCD中，易得AE⊥BE，
因面DAE⊥面ABCE，AE⊥BE，BE面ABCE，
所以由面面垂直的性质定理，有BE⊥面DAE，
又由面面垂直的判定定理，
有面ADE⊥面BEQ。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥面DAE，故∠BDE是直线BD与面ADE所成的角，
在Rt△BED中，，
故直线BD与面ADE所成角的正切值为；
（Ⅲ）设点Q到面ADE的距离为h，
∵DQ∥EC且DQ=EC，
∴四边形DQCE为平行四边形，
∴QG∥DE，从而QC∥面ADE，
故点Q到面ADE的距离等于点C到面ADE的距离，
由易得。