题目内容

已知函数f(x)=
px2+2
-3x
，且f(2)=-
5
3
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．
分析：（1）把x=2代入函数的解析式，列出关于p的方程，求解即可；
（2）由（1）求出的解析式，根据分母不为零求出函数的定义域，然后验证f（x）与f（-x）的关系，判断出函数的奇偶性；
（3）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．
解答：解：（1）由题意知f(2)=-
5
3
，f(x)=
px2+2
-3x

即f(2)=
4p+2
-6
=-
5
3
，解得p=2
则所求解析式为f(x)=
2x2+2
-3x

（2）由（1）得，f(x)=
2x2+2
-3x
，则此函数的定义域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=
2x2+2
3x
=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）由（1）可得f(x)=
2x2+2
-3x
=-
2
3
(x+
1
x
)，则函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
证明如下：设0＜x1＜x2＜1，
∴f(x1)-f(x2)=
2
3
[(x2+
1
x2
)-(x1+
1
x1
)]=
2
3
[(x2-x1)+(
1
x2
-
1
x1
)]
=
2
3
[(x2-x1)+
x1-x2
x1x2
]=
2
3
(x1-x2)(
1
x1x2
-1)=
2
3
(x1-x2)×
1-x1x2
x1x2

∵0＜x1＜x2＜1，0＜x1x2＜1，1-x1x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在区间（0，1）上是增函数．
点评：本题考查了有关函数的性质综合题，用待定系数法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．
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1
2
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3
x
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2
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1
6
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