Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-

3

＜a＜

3

．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

Answer 1

分析：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂，利用图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，推出：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，通过两次△＜0推出-

3

＜a＜

3

（2）通过函数的导数就是函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，利用|k|≤1，与1≤a≤

3

相互充要故选证明即可．

解答：解：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨设x₁＞x₂，
则

y1-y2

x1-x2

＜1，即

- x 1 3 +a x 1 2 + x 2 3 -a x 2 2

x1-x2

＜1，
∴

-(x1-x2)( x 2 1 +x1x2+ x 2 2 )+a(x1-x2)(x1+x2)

x1-x2

＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-

3

＜a＜

3

（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1?-1≤-3x²+2ax≤1
?

0≤ a 3 ≤1 |f′(1)|=|-3+2a|≤1 |f( a 3 )|= a2 3 ≤1

或

a 3 ＞1 |f′(1)|=-3+2a≤1

或

a 3 ＜0 |f′(1)|=|-3+2a|≤1

解得：1≤a≤

3

，故|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤

3

．

点评：本题考查函数的导数与切线的斜率的关系，充要条件的应用，考查转化思想，计算能力．