题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=a，求证△F1MF2的面积为b2tan
a
2
．
分析：先设|MF1|=m，|MF2|=n，则根据椭圆的性质可知m+n=2a，两边平方可得mn的表达式，再根据余弦定理求得cosα，把mn代入，即可求得mn=
b2
cos2
α
2
，最后根据三角形面积公式求得△F1MF2的面积，化简后原式得证．
解答：解：设|MF1|=m，|MF2|=n，则m+n=2a，
∴m2+n2+2mn=4a2，
在△△F1MF2中根据余弦定理可知cosα=
m2+n2-4c2 
2mn
=
4(a2-c2)-2mn
2mn
=
2b2-mn
mn

∴mn=
2b2
cosα+1
=
2b2
2cos2 
α
2
=
b2
cos2
α
2

∴△F1MF2的面积为
1
2
mnsinα=
b22sin
α
2
cos
α
2
2cos2
α
2
=b2tan
a
2
点评：本题主要考查了椭圆的基本性质及余弦定理的应用．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网