Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，若数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设bn=

an+1	(an+1-3)•Sn+1

，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可求得S_n=4ⁿ-1，a_n=S_n-S_n-1（n≥2_）可求得a_n；
（Ⅱ）将a_n+1，s_n+1分别代入bn=

an+1

(an+1-3)•Sn+1

，用裂项法化为bn=

1

3

(

1

4n-1

-

1

4n+1-1

)，可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）S_n+1=（S₁+1）•4^n-1=4ⁿ，∴S_n=4ⁿ-1，
    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•4^n-1，且 a₁=3，∴a_n=3•4^n-1，
    所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3•4^n-1．…（7分）
（Ⅱ）bn=

an+1

(an+1-3)•Sn+1

=

4n

(4n-1)(4n+1-1)

=

1

3

(

1

4n-1

-

1

4n+1-1

)，Tn=b1+b2+…+bn=

1

3

(

1

41-1

-

1

42-1

)+

1

3

(

1

42-1

-

1

43-1

)+…+

1

3

(

1

4n-1

-

1

4n+1-1

)
=

1

3

(

1

41-1

-

1

4n+1-1

)=

1

9

-

1

3(4n+1-1)

．…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式与数列求和，求等比数列的通项时用公示法，求和时用裂项法，是重点也是难点，是中档题．