Question

已知函数f(x)＝(ax＋1)e^x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．

Answer 1

（1）见解析
（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；
当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.

解：依题意，函数的定义域为R，
f′(x)＝(ax＋1)′e^x＋(ax＋1)(e^x)′＝e^x(ax＋a＋1)．
(1)①当a＝0时，f′(x)＝e^x>0，
则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，
由f′(x)<0，解得x<－，
则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；
③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，
由f′(x)<0解得，x>－，
则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，
f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．
(2)①当时，)上是减函数，
在(－，0)上是增函数，
则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；
②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.
综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；
当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.