Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．I) 直线的斜率为1.

由题意知解得，．

故椭圆的方程为，离心率为．……6分

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．　　

　　 证明如下：由题意可设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为．

由得．

设点的坐标为，则．

所以，．　 ……………………………10分

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为.

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为．

点到直线的距离．

又因为 ，所以．

故以为直径的圆与直线相切．

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切解: (

函数的定义域为，

因为_，所以，所以.

所以. _.

由解得；由解得_.

所以的单调增区间是,单调减区间是.　 ……………………4分

(II) _，

由解得；由解得_.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以当时，函数取得最小值，.

因为对于都有成立，

所以即可.

则_. 由解得_.

所以的取值范围是.　　　　　　　　　 ………………………………8分

(III)依题得，则.

由解得；由解得.

所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.

所以的取值范围是.　　　　 ………………………………………13分