Question

已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜)，在同一周期内，当x=时，取得最大值为2；当x=时，取得最小值为-2.

（1）求函数的解析式；

（2）该函数图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换而得到，写出变换过程.

Answer 1

思路分析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的性质及三角函数图象的变换.先利用y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)图象的性质求出函数的解析式，然后再根据平移变换——伸缩变换的步骤进行变换即可.

解：（1）由已知函数的周期T=2×(-)=π，A=2.

又，所以ω=2.

又当x=时，取得最大值为2，所以有

2=2sin(2×+φ)，即+φ=2kπ+，k∈Z,又0＜φ＜.

所以φ=，即函数的解析式为y=2sin(2x+).

（2）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin(x+)的图象，将函数y=sin(x+)图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）得到函数y=sin(2x+)的图象，再将函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）即可得函数y=2sin(2x+)的图象.