Question

18、如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；（2）求证：AC⊥BC₁．

Answer 1

分析：（1）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC₁的中点，可知DE∥AC₁，而DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，根据线面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三边长AC，BC，AB满足勾股定理则AC⊥BC，又侧棱垂直于底面ABC，则CC₁⊥AC，又BC∩CC₁=C，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁，根据线面垂直的性质可知AC⊥BC₁．

解答：解：（1）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，（1分）
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，（5分）
∴AC₁∥平面CDB₁（6分）

（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，①（7分）
又侧棱垂直于底面ABC，
∴CC₁⊥AC②（8分）
又BC∩CC₁=C③
由①②③得∴AC⊥面BCC₁（10分）
又BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁；（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定，同时考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．