Question

已知线段CD=2

3

，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）求动点A所在的曲线方程；
（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，利用椭圆的定义判断曲线类型，并求得曲线方程．
（2）由（Ⅰ）知a＞

3

，以O为圆心，OC=

3

为半径的圆与椭圆有公共点，故

3

≥

a2-3

，解出a的取值范围．
（3）当a=2时，求出OA和OB的长度，代入∴△AOB面积S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

，令1+k²=t（t＞1），S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

，令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4，求得g（t）的范围，即得S的最值．

解答：解：（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
若AC+AD=2a＜2

3

，即0＜a＜

3

，动点A所在的曲线不存在；
若AC+AD=2a=2

3

，即a=

3

，动点A所在的曲线方程为y=0(-

3

≤x≤

3

)；
若AC+AD=2a＞2

3

，即a＞

3

，动点A所在的曲线方程为

x2

a2

+

y2

a2-3

=1．
（2）由（Ⅰ）知a＞

3

，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，OC=

3

为半径的圆与椭圆有公共点，
故

3

≥

a2-3

，所以，a的取值范围是

3

＜a≤

6

．
（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆

x2

4

+y2=1，由条件知A，B两点均在椭圆

x2

4

+y2=1上，且AO⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-

1

k

x，
解方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x

2 1

=

4

1+4k2

，

y

2 1

=

4k

1+4k2

，同理可求得

x

2 2

=

4k2

k2+4

，

y

2 2

=

4

k2+4

，
∴△AOB面积S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

，
令1+k²=t（t＞1），则 S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

，
令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

(t＞1)，所以，4＜g(t)≤

25

4

，即

4

5

≤S＜1，
当OA与坐标轴重合时S=1，于是

4

5

≤S≤1，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与

4

5

．

点评：本题考查椭圆的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，求出△AOB的面积 是解题的难点．