Question

如图，已知梯形ABCD中，AB=2CD，E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.

Answer 1

思路解析：解答本题，要首先建立合适的坐标系，然后，表示出梯形各顶点的坐标，从而运用相关的知识建立起e与λ的函数关系式，最后由λ的给定区间求出e的取值范围，不同的知识切入点能得到不同的解法.

解法一：如图,以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.

依题意，记A(-c,0),C(,h)、E(x_E,y_E),

其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高.

由定比分点坐标公式得x_E==,y_E=.

设双曲线的方程为-=1，则离心率e=.

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得

-=1,                                                                      ①

()²-()²=1.                                           ②

由①式得=-1.                                                           ③

将③式代入②式，整理得,(4-4λ)=1+2λ,

故λ=1-.

由题设≤λ≤得≤1-≤.

解得≤e≤.

所以双曲线的离心率的取值范围［，］.

解法二：建坐标系如解法一.

设A（-c,0），B（c,0），C(,y₁).由定比分点公式可得E点横坐标x_E=.

设双曲线方程为-=1，则其左准线为x=-.

由双曲线的第二定义得

=.

又因为=λ，所以=.所以=.

化简,得=，即e²=-2+.

因为f(λ)=-2+在上是单调递增函数,

所以，当λ∈时，e²∈［7,10］，故e∈［, ］.

解法三：建立坐标系如解法一.不失一般性，设A(-2,0),B(2,0),C(1,y₀).

由定比分点公式，可得E(,).

设双曲线方程为-=1(a＞0,b＞0).

因为点C、E在双曲线上，有

消去y₀²b²,得-=1.

解得a==-2.

因为≤λ≤，所以≤a²≤.

由c=2得a²=，所以≤≤.

故≤e≤.

解法四：设直线l是焦点A对应的准线，与CD、AB分别交于G、H,F是点E在l上的射影，M、N分别是E、C在AB上的射影，如图.

设焦距为2c，实轴长为2a，虚轴长为2b，知AB=2c，AH=.

由AB=2CD,得AN=c.

因为=λ，所以==.

又e==.

所以==.

而EF=AH-AM=-·c,

|CG|=|AN|-|AH|=c-,

所以=

整理,得e²=.

以下同解法二.