Question

已知函数f(x)=x²e^ax,其中a≤0,e为自然对数的底数.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)求函数f(x)在区间［0,1］上的最大值.

Answer 1

分析：本题主要考查复合函数的导数的运算法则、导数的应用等知识.利用f′(x)>0确定函数的单调增区间,f′(x)<0确定函数的单调减区间,利用函数的单调性求最值.特别地,对于形如f(x)=ax²+bx+c的函数要对a进行讨论,因为a=0时,它是一次函数或常数函数;a≠0时,它是二次函数,即函数的性质不同.

解：(1)f′(x)=(x²)′e^ax+x²(e^ax)′=2xe^ax+x²e^ax(ax)′

=2xe^ax+ax²e^ax=x(ax+2)e^ax.

由于e^ax>0恒成立,所以

①当a=0时,令f′(x)=0,得x=0.

若x>0,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;

若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减.

②当a<0时,令f′(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-.

若x<0,则f′(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减;

若0<x<-,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,-)上单调递增;

若x>-,则f′(x)<0,从而f(x)在(-,+∞)上单调递减.

(2)①当a=0时,由于f(x)在区间［0,1］上单调递增,所以它的最大值是f(1)=1.

②当a<0时,令-=1,得a=-2.

当-2(0,-),由于f(x)在区间(0,-)上单调递增,所以它在［0,1］上的最大值是f(1)=e^a;

当a≤-2时,(0,-) ［0,1］,由于f(x)在区间(0,-)上是增函数,所以它在［0,1］上的最大值是f(-)=

综上所述,当a=0时,函数的最大值是f(1)=1;

当-2<a<0时,函数的最大值是f(1)=e^a;

当a≤-2时,函数的最大值是f(-)=

点评：导数的应用十分广泛,引入导数后原来初等数学中一些很难解决的问题,利用导数却能比较顺利地求解.这就促使我们去探求导数的应用:必须熟练掌握导数的运算法则及复合函数的求导法则,并能进行简单的求导运算,注意运算中公式使用的合理性与准确性;若与参数有关,则应对其进行分类讨论.利用导数能求出函数的单调区间,若函数在给定的闭区间上是单调函数,则它的最值点可在区间的两个端点处取得.