Question

13．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，记∠COA=α．
（1）若点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos2α的值；
（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，求当角α为何值时，三角形AED面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．
（2）化简 S_△AED=$\frac{1}{2}$ AD•DE为 $\frac{1}{4}$sin（2α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，由0＜α＜$\frac{π}{2}$及$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，利用正弦函数的定义域和值域，求得三角形AED面积的最大值．

解答 （1）由题意可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，故cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{7}{25}$．
（2）AD=sinα，OD=cosα，OE=-cos（α+$\frac{π}{3}$），
DE=OD+OE=cosα-cos（α+$\frac{π}{3}$），
故S_△AED=$\frac{1}{2}$ AD•DE=$\frac{1}{2}$ sinα•[cosα-cos（α+$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{1}{2}$ sinα•（cosα-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ sinα）=$\frac{1}{4}$sinα•cosα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$ sin²α
=$\frac{1}{8}$ sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{8}$cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{1}{4}$ sin（2α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
由0＜α＜$\frac{π}{2}$及$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，可得$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
从而0＜2α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，故当2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{5π}{12}$时，S_△AED取得最大值$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．