Question

19．已知a，b，c 分别为△ABC 的内角A，B，C的对边，且 A=$\frac{π}{3}$，a=2，则△ABC 面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，再由三角形的面积公式求出△ABC面积的最大值．

解答 解：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
则2²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，即4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
所以bc≤4，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积的最大值是$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．