Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+(2a-1)x+a2lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=

1

2

x 2 +x+lnx，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=x+1+

1

x

，因此，f′（1）=3，
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，
又f（1）=

3

2

，故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-

3

2

=3（x-1），
所以曲线，即3x-y-

3

2

=0；
（Ⅱ）因为 f /(x)=x+2a-1+

a 2

x

=

x 2+(2a-1)x+a 2

x

，x∈（0，+∞），
令g（x）=x²+（2a-1）x+a²，x∈（0，+∞），
（1）当a≥

1

4

时，g（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，故当a≥

1

4

时，f′（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，
所以，当a≥

1

4

时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
（2）当0＜a＜

1

4

时，由g（x）=0，得x=

1-2a± 1-4a

2

，
故f（x）=0的两个根为x 1=

1-2a- 1-4a

2

，x 2=

1-2a+ 1-4a

2

①由f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂，故函数的单调递减区间为（x₁，x₂）；
②由f′（x）＞0，得0＜x＜x₁，或x＞x₂，故函数的单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞）；
故当0＜a＜

1

4

时，函数的单调增区间为（0，

1-2a- 1-4a

2

）和（

1-2a+ 1-4a

2

，+∞）；函数的单调递减区间为（

1-2a- 1-4a

2

，

1-2a+ 1-4a

2

）
综上所述：
当a≥

1

4

时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
当0＜a＜

1

4

时，函数的单调增区间为（0，

1-2a- 1-4a

2

）和（

1-2a+ 1-4a

2

，+∞）；函数的单调递减区间为（

1-2a- 1-4a

2

，

1-2a+ 1-4a

2

）