题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为
2
2
，过点A的直线l与椭圆交于M、N两点，且|MN|=
4
2
3

（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．
分析：（1）根据椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为
2
2
，建立方程组，求得a，b的值，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，求出交点坐标，利用弦长公式，即可求得结论．
解答：解：（1）∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为
2
2
，
∴
b=1
a2-b2
a2
=
1
2

∴a2=2，b=1
∴椭圆的方程为
x2
2
+y2=1；
（2）由题意，直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kx=0
∴x=0或x=-
4k
1+2k2
，
∵|MN|=
4
2
3

∴
1+k2
|
4k
1+2k2
|=
4
2
3

∴k4-8k2+7=0
∴k=±1或k=±
7

∴直线l的方程为y=±x+1或y=±
7
x+1．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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