Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N⁺都有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出A，B，C的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（I）由已知，得，
即，（3分）
所以数列{}是公比为2的等比数列，首项为a₁=2，
故a_n=2ⁿ•n²． （6分）
也可以用累积法；
（II）因为b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
所以，（9分）
解出A=1，B=-4，C=6．
故存在常数A，B，C满足条件． （12分）
分析：（I）由已知，得，所以数列{}是公比为2的等比数列，首项为a₁=2，由此可知a_n=2ⁿ•n²．
（II）由题题意知若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此能解出A=1，B=-4，C=6．故存在常数A，B，C满足条件．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．