Question

已知函数 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．若对任意的实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则实数k的取值范围是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：函数 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

的解析式可化为f（x）=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

，令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3），则f（x）=y=1+

k-1

t

，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．

解答：解：∵函数 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3）
则f（x）=y=1+

k-1

t

若k-1＜0，即k＜1，函数y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上为增函数
此时的函数f（x）=y值域为[1+

k-1

3

，1）
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
则2（1+

k-1

3

）≥1，就可以满足条件
解得-

1

2

≤k＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）显然成立
若k-1＞0，即k＞1
函数y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上为减函数
此时的函数f（x）=y值域为（1，1+

k-1

3

]
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
则1+1≥1+

k-1

3

，
解得1＜k≤4
综上所述：-

1

2

≤k≤4
故答案为：-

1

2

≤k≤4

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f（x）=y=1+

k-1

t

，是解答的关键．