Question

如图，在空间四边形中，E、F、G、H是边AB、BC、CD、AD的中点，AB=CD且AB垂直CD．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）求异面直线AB与FH夹角的度数．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线平行且等于底边长的一半，来证四边形的对边平行且相等，从而证明四边形是平行四边形；
（2）取AC的中点，根据三角形的中位线平行与底边证异面直线所成的角，解三角形求解即可．

解答：解：（1）∵E、F、G、H是边AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH，又EF=GH=

1

2

AC，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）去AC的中点O，连接OF、OH，
∵O、F、H分别是AC、BC、AD的中点，∴OF∥AB，OH∥CD，且OF=

1

2

AB，OH=

1

2

CD
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴△OFH为等腰直角三角形，
又OF∥AB，∴∠OFH为异面直线AB与FH所成的角，
∴异面直线AB与FH夹角的度数为45°．

点评：本题考查异面直线所成角的求法、平面的基本性质及推论．