Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
①求a，b的值；
②设F（x）=-

k

4

f（x）+2kx+13k-2，则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

Answer 1

①∵函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0，
故-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³ =0的两个根，∴

-2+6= -a -2×6= 2b-a3 a

，解得

a=-4 b=-8

，
∴f（x）=-4x²+16x+48．
②∵F（x）=-

k

4

f（x）+2kx+13k-2=kx²-2kx-（k+2），要使F（x）的值恒为负数，即kx²-2kx-（k+2）＜0恒成立，
当k=0时，不等式化为-2＜0，符合题意．
当k≠0时，由

k＜0 △=(-2k)2-4k[-(k+2)]

 解得-1＜k＜0．
综上可得，-1＜k≤0，即 k的取值范围为（-1，0]．