Question

（2012•宁国市模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

3

2

，

6

），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A₁，A₂，P₁是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P₂ 是点P₁关于x轴的对称点，直线A₁P₁与A₂P₂相交于点E．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求点E的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定焦点坐标，再利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

3

2

，

6

），即可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）利用参数法求点E的轨迹方程．求出A₁P₁的方程、A₂P₂的方程，再利用点P₁（x₁，y₁）在椭圆

x2

9

+

y2

8

=1上，即可求得点E（x，y）的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，2c=2得c=1，…（1分），F₁（-1，0），F₂（1，0）
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

3

2

，

6

），
∴|MF₁|+|MF₂|=2a，∴a=3…（3分），
∴b²=a²-c²=8
∴所求椭圆标准方程为

x2

9

+

y2

8

=1…（5分）  
（Ⅱ）A₁（-3，0），A₂（3，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，-y₂），（x₁≠0，|x₁|＜3）
A₁P₁的方程：

y

y1

=

x+3

x1+3

…①，A₂P₂的方程：

y

-y1

=

x-3

x1-3

…②…（7分）
①×②得

y2

- y 2 1

=

x2-9

x 2 1 -9

…③，
因为点P₁（x₁，y₁）在椭圆

x2

9

+

y2

8

=1上，
所以

x 2 1

9

+

y 2 1

8

=1即

y

2 1

=

8(9- x 2 1 )

9

代入③得

x2

9

-

y2

8

=1，
又P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，-y₂）是椭圆上非顶点，知x≠±3，所以点E（x，y）的轨迹方程

x2

9

-

y2

8

=1（x≠±3）

点评：本题综合考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查轨迹方程的求解，（Ⅱ）中求方程消参是解题的关键．