Question

（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ），        ……1分

∴当时，， 单调递减区间为

当时，，此时单调递增区间为    ……3分

∴的极小值为                                 ……4分

（Ⅱ）令，，         ……6分

当时，，在上单调递减 

当时，，在上单调递增 

∴                                  ……8分

，

∴在（1）的条件下，                          ……9分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

                                    ……10分

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.                                               ……11分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.           ……12分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.                                     ……13分

综上，存在实数，使得当时有最小值.  ……14分