Question

【题目】设函数 的定义域是R，对于任意实数 ，恒有，且当 时， 。

（1）求证： ，且当 时，有 ；

（2）判断 在R上的单调性；

（3）设集合A＝，B＝，若A∩B＝，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）;（2） 在R上单调递减;（3）

【解析】试题分析：（1）利用赋值法证明， ，且当时， ，利用赋值法，只需令，即可证明当时，有；（2）利用函数的单调性的定义判断，只需设上，且，再作差比较与的大小即可；（3）先判断集合分别表示什么集合，两个集合都是点集， 表示圆心在，半径是的圆的内部， 表示直线,， 直线与圆内部没有交点，直线与圆相离或相切，再据此求出参数的范围.

试题解析：(1)由f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，

则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，0<f(x)<1，∴f(0)=1；

设m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴

(2)由（1）及已知,对任意实数x都有f(x)>0，

设x1<x2，则x2－x1>0， ，

∴

，

∴f(x)在R上单调递减。

（3） ，由f(x)单调性知 ，

又 ，

又A∩B＝， 无解，即， 无解，

从而．