Question

（2011•昌平区二模）已知函数f(x)=

3

sin2x+2cos2x．
（I） 求f(

π

3

)；
（II）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x+

π

6

)+1，由此求得f(

π

3

)的值．
（II）根据函数f（x）的解析式求出周期，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得x的范围，即得函数的单调递增区间．

解答：解：（I）依题意f（x）=

3

sin2x+2•

cos2x+1

2

   （2 分）
=

3

sin2x+cos2x+1．（3分）
=2sin(2x+

π

6

)+1．（5分）
∴f(

π

3

)=2sin(

2π

3

+

π

6

)+1=2．（7分）
（II）设函数f（x）的最小正周期为T，则 T=π．（9分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
∴函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，k∈z．（13分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x+

π

6

)+1，是解题的关键．