Question

【题目】已知D为圆O：x2+y2=8上的动点，过点D向x轴作垂线DN，垂足为N，T在线段DN上且满足 ．
（1）求动点T的轨迹方程；
（2）若M是直线l：x=﹣4上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（3）若（2）中直线PQ与动点T的轨迹交于G，H两点，且 ，求此时弦PQ的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：设T（x，y），则|DN|= |TN|，

∵D为圆O：x2+y2=8上的动点，

∴x2+（ y）2=8，

∵|DN|≠0，∴y≠0，

∴动点T的轨迹方程为 =1

（2）解：设M（﹣4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y﹣m）=0

与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x﹣my+8=0，

令y=0，可得x=﹣2，得直线PQ过定点E（﹣2，0）

（3）解：设G（x1，y1），H（x2，y2），则 ，①

∵ ，∴（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2，﹣y2），即：x1=﹣8﹣3x2，y1=﹣3y2，

代入①解得：x2=﹣ ，y2=± （舍去正值），∴kPQ=1，所以PQ：x﹣y+2=0，

从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d= ，

∴PQ=2 =2

【解析】（1）利用代入法，求动点T的轨迹方程；（2）设M（﹣4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y﹣m）=0与圆O：x2+y2=8联立消去x2 ， y2得PQ的方程为4x﹣my+8=0，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）设G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），则 ，①，知（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2 ， ﹣y2），结合向量求出PQ的方程，由此入手能够求出弦PQ的长