Question

【题目】已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1 ， B1C，BC1 ， 得到的图形如图所示． （Ⅰ）证明BC1⊥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB， ∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC1= AB=1，
则B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），B1（0，1，1），C（0，0，0），
=（0，﹣1，1）， =（﹣1，1，1）， =（﹣1，0，0）， =（﹣1，0，1），
∴ =0， =0﹣1+1=0，
∴BC1⊥AC，BC1⊥AB1 ，
∵AC∩AB1=A，∴BC1⊥平面AB1C．
解：（Ⅱ）∵BC1⊥平面AB1C，∴ =（0，﹣1，1）是平面AB1C的法向量，
E（0， ，0）， =（﹣1，0， ），
设平面AB1E的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），
设二面角E﹣AB1﹣C的大小为θ，
则cosθ= = = ，
∴θ=30°．
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°．

【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1⊥平面AB1C．（Ⅱ）求出平面AB1C的法向量，和平面AB1E的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大小．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．