Question

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）设2^x=t，原题转化为y=-t²+λt在[1.2]是减函数，由此能求出实数λ的取值范围．
（2）设2^x=t，原题转化为y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]最大值为

1

2

，求实数λ的值．对λ分类讨论，求出在区间[1，2]上的最大值，使其等于

1

2

，解出λ即可．

解答：解：（1）设2^x=t，
∵函数f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定义域为[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t²+λt在[1.2]是减函数，
∴t=

λ

2

≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为

1

2

，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=

λ

2

，
①当

λ

2

＜1时，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值ymax=-(1-

λ

2

)2+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②当1≤

λ

2

≤2时，当t=

λ

2

时，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

，（舍）
③当

λ

2

＞2时，当t=2时，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

．
综上所述，实数λ的值为

3

2

，或

9

4

．

点评：本题考查二次函数的单调性及二次函数在给定区间上的最值问题，考查分类讨论思想，解题时要注意换元法的合理运用．