题目内容
（2011•淄博二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，bn＞0（n∈N*）且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．求数列{an}、{bn}的通项公式．
分析：（1）要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn-1+1两者作差得出an+1=3an，求出数列{an}；
（2）有等差数列的性质求出b2=5，进而求出公差和首项，即可求出通项公式．
（2）有等差数列的性质求出b2=5，进而求出公差和首项，即可求出通项公式．
解答：解：（1）当n≥2时，由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1，两式相减得
an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，整理得
=3，
a2=2S1+1=3，∴
=3满足上式．
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an=3n-1
（2）由条件知：b2=5，故（1+b1）（9+b3）=64
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b1=3
∴bn=b1+（n-1）d=2n+1
an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，整理得
| an+1 |
| an |
a2=2S1+1=3，∴
| a2 |
| a1 |
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an=3n-1
（2）由条件知：b2=5，故（1+b1）（9+b3）=64
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b1=3
∴bn=b1+（n-1）d=2n+1
点评：本题技巧性较强，是数列中的一道难度较高的题，对答题者基础知识与基本技能要求较高，是用来提高学生数列素养的一道好题．
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