Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为

7

4

的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2+(y-2)2=

1

4

上一动点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为y=kx，根据题意可得：k=±

1

2

，所以设双曲线方程为x²-4y²=m，再结合|PA|•|PB|=|PC|²可得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0，进而联立直线与双曲线的方程即可解决问题，求出答案．
（Ⅱ）设点M（x，y），则x²-4y²=4，设圆心为D（0，2），即可表达出|MD|并且求出范围，再利用圆的性质求出答案即可．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为y=kx，
因为渐近线与圆（x-5）²+y²=5相切，
所以

|5k|

k2+1

=

5

，即k=±

1

2

，
所以双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x．（2分）
设双曲线方程为x²-4y²=m，
将y=

7

4

(x+4)代入双曲线方程，整理得3x²+56x+112+4m=0．（4分）
所以xA+xB=-

56

3

，xAxB=

112+4m

3

．（5分）
因为|PA|•|PB|=|PC|²，点P，A，B，C共线，且点P在线段AB上，
所以（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16．
所以4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．（7分）
于是4•(-

56

3

)+

112+4m

3

+32=0，
解得m=4． （8分）
故双曲线方程是x²-4y²=4，即

x2

4

-y2=1．（9分）
（Ⅱ）设点M（x，y），则x²-4y²=4，设圆x2+(y-2)2=

1

4

的圆心为D，则点D（0，2）．
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2=5y2-4y+8=5(y-

2

5

)2+

36

5

≥

36

5

．（11分）
所以|MD|≥

6 5

5

，从而|MN|=|MD|-

1

2

≥

12 5 -5

10

．
故|MN|的取值范围是[

12 5 -5

10

，+∞)．（13分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的标准方程与性质，以及圆与直线的位置关系与圆的有关性质，此题是一道综合性较强的题，对计算能力有较高的要求．