Question

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小．请你确定A、B两点的最佳位置．

Answer 1

如图，令|OA|＝a，|OB|＝b，则在△AOB中，∠AOB＝120°．…………………………………………2分

∴|OC||AB|＝absin120°．

∴|AB|＝．　　　①  …………………4分

又由余弦定理，

|AB|＝=

≥＝，（当a＝b时取等号．）　　　②      ……………6分

由①②知≥3ab．                                

∵ab＞0，

∴ab≥400　　　③    …………………………………………………8分

③代入①得|AB|＝≥20．

当a＝b时|AB|取得最小值．…………………………………………………………10分

而a＝b时，△AOB为等腰三角形，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°．

∴a＝b＝20．

∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处． ……………………………12分