题目内容
已知函数f（x）=sinx+
cosx，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的最大值，并指出取得该最大值时x的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
| 3 |
（1）求f（x）的最大值，并指出取得该最大值时x的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
分析：（1）函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最大值，以及x的值即可；
（2）根据正弦函数的减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可确定出f（x）的单调减区间．
（2）根据正弦函数的减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可确定出f（x）的单调减区间．
解答：解：（1）f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
），
∵x∈（0，π），∴x+
∈[
，
]，
则f（x）的最大值为2，
由x+
=
，解得x=
，
则取最大值时的x=
；
（2）由2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，k∈Z，
解得：2kπ+
≤x≤2kπ+
，k∈Z，
又x∈[0，π]，
∴f（x）的单调减区间为[
，π]．
| 3 |
| π |
| 3 |
∵x∈（0，π），∴x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
则f（x）的最大值为2，
由x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
则取最大值时的x=
| π |
| 6 |
（2）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
解得：2kπ+
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
又x∈[0，π]，
∴f（x）的单调减区间为[
| π |
| 6 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
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