Question

【题目】如图（1）在等腰直角三角形中，，将沿中位线翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角的大小为.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明∥，平面，可得平面，由面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）取的中点，所以，由（1）可知平面平面，所以平面，所以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，利用空间向量法求解即可.

（1）由题意可知为的中位线，所以，

因为，所以，所以，

因为图（2）所示的空间图形是由沿中位线翻折得到的，

所以，，又，

所以平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知二面角的平面角即为，所以，

因为，所以为等边三角形，

如图取的中点，所以，由（1）可知平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，所以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

设图1等腰直角中，则图2中，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

所以有，即，取，

设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.