Question

过x轴上一点M（x₀，0）作圆C：x2+(y-

2

)2=1的两条切线，切点分别为A、B，若|AB|≥

3

，，则x₀的取值范围是（　　）

• A．[-

  2

  ，

  2

  ]
• B．[-2.2]
• C．(-∞，-

  2

  ]∪[

  2

  ，+∞)
• D．（-∞，-2）∪[2，+∞）

Answer 1

分析：如图，当|AB|=

3

时，M在y轴左侧，当M往右运动时，|AB|长变小，往左运动时，|AB|长变大，M在y轴右侧，刚好相反，故连接CA，CB，MC，由MA及MB为圆C的切线，根据切线性质得到CA与AM垂直，CB与BM垂直，由圆C的方程找出圆心坐标和圆的半径，可得到|AC|的长，利用HL证明三角形ACM与三角形BCM全等，再利用三线合一得到CN与AB垂直，N为AB中点，可求出|AN|的长，又直角三角形ACN与直角三角形ACM相似，根据对应边成比例可求出|CM|的长，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的长，可得出此时M的坐标，根据分析的规律，即可得到满足题意的x₀的取值范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

若M在y轴左边，过M作圆C的两条切线MA与MB，切点分别为A和B，
连接CA，CB，CM，∴CA⊥AM，CB⊥BM，
在Rt△ACM与Rt△BCM中，
MC=MC，CA=CB，
∴Rt△ACM≌Rt△BCM（HL），
∴∠ACM=∠BCM，又CA=CB，
∴CN⊥AB，AN=BN，
当|AB|=

3

时，由圆C的方程x2+(y-

2

)2=1，得到圆心C（0，

2

），半径|CA|=|CB|=1，
在Rt△ANC中，由|AC|=1，|AN|=

1

2

|AB|=

3

2

，
根据勾股定理得：|CN|=

1

2

，
又Rt△ACN∽Rt△MAC，
∴|AC|²=|CN|•|CM|，∴|CM|=2，
在Rt△OCM中，|OC|=

2

，|CM|=2，
根据勾股定理可得：|OM|=

2

；
若M在y轴右边，同理可得|OM|=

2

，
则x₀的取值范围是(-∞，-

2

] ∪[

2

，+∞)．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，其中根据题意得出当|AB|=

3

时，M在y轴左侧，当M往右运动时，|AB|长变小，往左运动时，|AB|长变大，M在y轴右侧，刚好相反是解本题的关键．