Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（Ⅱ）若DE=A₁E，试求异面直线AE与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C-A₁D-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=

1

2

（180°-∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA₁，得DE⊥平面A₁AE，从而得到平面A₁AE⊥平面平面A₁DE．
（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C．证出EF∥A₁D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．
（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A₁DE的一个法向量，平面CA₁D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C-A₁D-E的余弦值．

解答：解：（1）依题意，BE=EC=

1

2

BC=AB=CD，
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，
又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=

1

2

（180°-∠ECD）=30°
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE，
∵AA₁⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA₁，
∵AA₁∩AE=A，∴DE⊥平面A₁AE，
∵DE⊆平面A₁DE，∴平面A₁AE⊥平面A₁DE．
（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C，
∵△BB₁C中，EF是中位线，∴EF∥B₁C
∵A₁B₁∥AB∥CD，A₁B₁=AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，可得B₁C∥A₁D
∴EF∥A₁D，
可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角．
∵△CDE中，DE=

3

CD=

3

=A₁E=

A1A2+AE2

，AE=AB=1
∴A₁A=

2

，由此可得BF=

2

2

，AF=EF=

1 2 +1

=

6

2

，
∴cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2×AE×EF

=

6

6

，即异面直线AE与A₁D所成角的余弦值为

6

6

（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA₁=

2

则A（0，0，0），D（0，2，0），C（

3

2

，

3

2

，0），
A₁（0，0，

2

），
又

CD

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

A1D

=(0，2，-

2

)
设平面CA₁D的法向量

n3

=(x，y，z)
则

A1D • n3 =0 CD • n3 =0

得

n3

=(1，

3

，

6

)，
同理可得平面A₁DE的一个法向量为

n2

=（

3

，1，

2

）
设二面角C-A₁D-E的平面角为θ，且θ为锐角
则cosθ=|cos＜

n2

，

n3

＞|=

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

4 3

10 • 6

=

2 5

5

 
所以二面角C-A₁D-E的余弦值为

2 5

5

．

点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．