题目内容

已知：向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若对任意的 $数学公式$ ，不等式f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）∈[-1，2]，即f（x）_max=2，f（x）_min=-1；
（2）∵f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，f（x）∈[-1，2]，f（x）+2＞0，
∴m＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+f（x）+ $\text{[math]}$ -4恒成立，
又2+f（x）+ $\text{[math]}$ -4≥2（当且仅当f（x）=1时取“=”），
∴m＜2．
分析：（1）由向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标可求得 $\text{[math]}$ 的表达式，从而可求 $\text{[math]}$
时函数f（x）的最大值和最小值；
（2）可将f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，转化为m＜2+f（x）+ $\text{[math]}$ -4恒成立，应用基本不等式可求得 $\text{[math]}$ 的最小值，问题即可解决．
点评：本题考查向量的坐标运算与三角函数的化简及求最值，难点在于将（2）中的恒成立关系式转化分离出参数m应用基本不等式解决，属于难题．