Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为R(x)=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。

（Ⅰ）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值成本）

（Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（Ⅲ）求边际利润函数MP(x)单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

Answer 1

解析：（Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x³+45x²+3240x-5000,(xN^*,且1≤x≤20);    MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3275，(xN^*,且1≤x≤19)

（Ⅱ）.

∴当0＜x＜12时＞0,当x＜12时，＜0.      

∴x=12，P（x）有最大值.                             

即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大．   

（Ⅲ）∵MP（x）=-30x²+60x+3275=-30(x-1)²+3305,             

所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，x的取值范围为[1,19]，且xN^*     

是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．