Question

设函数f（x）=lg（

2

x+1

-1）的定义域为集合A，函数g（x）=

1-|x+a|

的定义域为集合B，
（1）判定函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：a≥2是A∩B=∅的充分不必要条件．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，定义域关于原点对称时，再看f（-x）与函数f（x）的关系，依据奇偶性的定义做出判断．
（2）先求出集合B，当a≥2时，检验A∩B=∅成立．反之，取a=-3，仍有A∩B=∅成立，但不满足a≥2．

解答：解：（1）由

2

x+1

-1＞0，得

1-x

x+1

＞0，

x-1

x+1

＜0，∴-1＜x＜1，故函数的定义域 集合A
=（-1，1），关于原点对称．
又 f（-x）=lg（

2

-x+1

-1）=lg（

1+x

1-x

）=-lg

1-x

1+x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）证明：由 1-|x+a|≥0 得-1≤x+a≤1，-1-a≤x≤1-a，∴B=[-1-a，1-a]．
当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，∵A=（-1，1），∴A∩B=∅成立．
反之，取a=-3，则B=[2，4]，有A∩B=∅成立，但不满足a≥2，故必要性不成立．
∴a≥2是A∩B=∅的充分不必要条件．

点评：本题考查求函数的定义域、值域的方法，函数奇偶性的判断方法，充分条件、必要条件的概念．