题目内容

已知函数f（x）=2cosxsinx+2 $数学公式$ cos²x- $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

解：（1）函数f（x）=2cosxsinx+2 $\text{[math]}$ cos²x- $\text{[math]}$ =sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x=2（ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（2）要使f（x）递增，必须使 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得：kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）的递增区间为：[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由此求得函数的最小正周期．
（2）要使f（x）递增，必须使 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调增区间．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的增区间，属于中档题．

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