Question

（本小题满分13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；

（Ⅱ）求AE的长；

（Ⅲ）求二面角E—PC—A的正弦值.

Answer 1

解（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    

∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG     

∴AG⊥平面PCD           …………2分

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD  ∴EF∥AG

又AG 面PEC，EF 面PEC，

∴AG∥平面PEC     ………………4分

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD  ∴ AE∥平面PCD

∴AE∥GF     ∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF       …………5分

∵PA＝3，AB＝4    ∴PD＝5，AG＝，

又PA²＝PG•PD     ∴PG                       ……………………6分

又      ∴   ∴    ………………8分

（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，

又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E—PC—A的平面角  ……10分

，   又EF＝AG

∴                ………………13分