Question

（2012•资阳一模）在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，使不等式(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0成立的最大自然数是（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：在等比数列{a_n}中，由0＜a₁＜a₄=1，知q＞1，故n＞4时，an-

1

an

＞0．由a₄=a1q3=1，知a₁=

1

q3

，故a7=a1 •q6=q3=

1

a1

，同理得a6=a1•q5=q2=

1

a2

，a5=a1•q4=q=

1

a3

，a4=1=

1

a4

，所以(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+(a3-

1

a3

)+(a4-

1

a4

)+(a5-

1

a5

)+(a6-

1

a6

)+(a7-

1

a7

)=0，由此能求出n的最大值．

解答：解：∵在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，∴q＞1，
∴n＞4时，an-

1

an

＞0．
∵a₄=a1q3=1，∴a₁=

1

q3

，
∴a7=a1 •q6=q3=

1

a1

，
a2=a1•q=

1

q2

，
a6=a1•q5=q2=

1

a2

，
a3=a1•q2=

1

q3

•q2=

1

q

，
a5=a1•q4=q=

1

a3

，
a4=1=

1

a4

，
∴(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+(a3-

1

a3

)+(a4-

1

a4

)+(a5-

1

a5

)+(a6-

1

a6

)+(a7-

1

a7

)=0，
∴n≤7时，(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0，
所以n的最大值为7．
故选C．

点评：本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．