Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.?

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

 

Answer 1

证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

设AC∩BD=N，连结NE.?

则点N、E的坐标分别为(,,0)、(0,0,1).?

∴=(-,-,1).?

又点A、M的坐标分别是(2,2,0)、(,,1),∴=(-,-,1).?

∴=且NE与AM不共线.?

∴NE∥AM.?

又∵NE平面BDE，AM 平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)同(1)，AM=(-,-,1),

∵D(2,0,0),F(2,2,1),?

∴=(0,2,1).∴·=0.?

∴⊥.?

同理, ⊥.?

又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.?

温馨提示：用向量知识证立体几何问题仍需判定(或性质)定理.欲证线面平行只需证线线平行；欲证线面垂直需证线线垂直.