Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，直线l₁：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是

 

Answer 1

分析：先根据题意得到不等式

1

3

x3-x2-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

，然后转化为c＜ -

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案．

解答：解：∵当x∈[-2，2]时f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

恒在直线9x+2y+c=0的下方
∴

1

3

x3-x2-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

在x∈[-2，2]时恒成立，
即c＜ -

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，∴g'（x）=-2x²+4x-3
∵g'（x）=-2x²+4x-3＜0恒成立，∴函数g（x）单调递减
函数在x∈[-2，2]的最小值等于g（2）=-6
∴c＜-6即可满足条件．
故答案为：（-∞，-6）

点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．