题目内容

已知函数 $数学公式$ 在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．
（1）当a=3时，求m，n的值；
（2）当f（n）-f（m）最小时，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀使得 $数学公式$ ，证明：x₁＜x₀＜x₂．

解： $\text{[math]}$ ．（2分）
（1）当a=3时，由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ 或x=2，
所以f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，在 $\text{[math]}$ ，（2，+∞）上为减函数，（4分）
由题意知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
可知 $\text{[math]}$ ．（7分）
（2）①因为 $\text{[math]}$ ，
当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．（8分）
由 $\text{[math]}$ ，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0；（9分）
由 $\text{[math]}$ ，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．（11分）
②此时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，（12分）
欲证x₁＜x₀＜x₂，先比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即 $\text{[math]}$ ，（13分）
另一方面， $\text{[math]}$ ，
因为0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，从而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|（14分）
同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．（15分）
分析：（1）已知函数 $\text{[math]}$ 在区间[m，n]上为增函数，先用导数求得当a=3时的所有单调区间，则有[m，n]为函数f（x）单调区间的子集．
（2）①由 $\text{[math]}$ ，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立求解．
②先分别表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，得到， $\text{[math]}$ ，再用作差法比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．
点评：本题主要考查导数在研究单调性，求最值，比较大小中的应用．