题目内容

数列{a_n} 中，a₁= $数学公式$ ，前n项和S_n满足Sn+1-Sn= $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）求数列数列{a_n} 的通项公式a_n，以及前n项和S_n；
（2）b_n= $数学公式$ ，求数列{a_n•b_n} 的前n项的和T_n．

解：（1）∵S_n满足S_n+1-S_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
∴a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
a_n= $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N^*）．
又∵n=1时，a₁= $\text{[math]}$ ，
∴a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
∴S_n=1- $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
（2）由（1）中a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
∴b_n= $\text{[math]}$ =n
∴a_n•b_n=n• $\text{[math]}$ （n∈N^*）
∴T_n=1• $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ ²+3• $\text{[math]}$ ³+…+n• $\text{[math]}$ ③
2T_n=1• $\text{[math]}$ ⁰+2• $\text{[math]}$ ¹+3• $\text{[math]}$ ²+…+n• $\text{[math]}$ ④
由③-④得：
-T_n=-1-（ $\text{[math]}$ ¹+ $\text{[math]}$ ²+…+ $\text{[math]}$ ）+n• $\text{[math]}$ =-2+（n+2） $\text{[math]}$
∴T_n=2-（n+2） $\text{[math]}$
分析：（1）分析题意可知是由s_n求a_n故需利用a_n与s_n的关系：当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1来求解同时需验证a₁=1是否也满足上式．当a_n求出后分析它的特征然后决定采用什么方法求前n项和．
（2）由b_n= $\text{[math]}$ ，根据（1）数列{a_n} 的通项公式a_n，可求出数列{a_n•b_n} 的通项公式，进而求出数列{a_n•b_n} 的前n项的和T_n．
点评：本题主要考查由前n 项和的递推公式求数列通项公式，及用错位相减求和法求T_n，属中档题．