Question

（13分）某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与成正比；②当时，，③，其中a为常数，且.

（1）设，求出的表达式;

（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值.

Answer 1

解析：（1）y与（m－x）x成正比， 

∴y＝f (x)=k (m－x)x²

又时，     

∴  ∴k＝4

∴y＝f (x)＝4(m－x)x²……………………………………（2分）

由得          

∴         ……（4分）

（2）∵         

∴令

得…………………………………（5分）

（i）若    即

当时，

∴在[0，m]上单调递增

当时，

由在[]上单调递减

∴当，…………（8分）

（i i）若  即时

当(0, )时，

∴在[0，]上单调递增

∴……………………（11分）

综合（i）（i i）可知

当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；

当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；