Question

某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m-x）x²成正比；②当x=

m

2

时，y=

m3

2

；③0≤

x

4(m-x)

≤a，其中a为常数，且a∈[0，2]
（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；
（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据y与（m-x）x²成正比，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（2）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．

解答：解：（1）∵y与（m-x）x²成正比，∴设y=f（x）=k（m-x）x²，又x=

m

2

时，y=

m3

2

∴解得k=4，从而有y=4（m-x）x²…（2分）
由0≤

x

4(m-x)

≤a解得0≤x≤

4am

1+4a

故f（x）=4（m-x）x²(0≤x≤

4ma

1+4a

)…（4分）
（2）∵f（x）=4mx²-4x³，∴f'（x）=4x（2m-3x）
令f'（x）=0解得x₁=0，x2=

2

3

m…（5分）
（ⅰ） 若，即

1

2

≤a≤2，当x∈（0，

2

3

m)时，f'（x）＞0
所以f（x）在[0，

2

3

m]上单调递增；
当

2m

3

＜x＜

4am

1+4a

时，f'（x）＜0，由于f（x）在[

2m

3

，

4am

1+4a

]上单调递减，
故当x=

2

3

m时，f（x）取得最大值f(

2

3

m)=

16

27

m3…（8分）
（ⅱ） 若

4am

1+4a

＜

2

3

m，即0≤a＜

1

2

时，当x∈（0，

4am

1+4a

)时，
由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，

4am

1+4a

]上单调递增，
故f(x)max=f(

4am

1+4a

)=

64a2m3

(1+4a)3

…（11分）
综上可知：0≤a＜

1

2

时，产值y的最大值为

64a2m3

(1+4a)3

，此时投入的技术改造费用为

4am

1+4a

；当

1

2

≤a≤2时，产值y的最大值为

16

27

m3，此时投入的技术改造费用为

2

3

m．…（12分）

点评：本题考查函数的应用问题，函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．