Question

过点O引三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，则有

1. A.
   cosα=cosθ•cosβ
2. B.
   cosβ=cosθ•cosα
3. C.
   sinα=sinθ•sinβ
4. D.
   sinβ=sinθ•sinα

Answer 1

B
分析：根据平面AOB⊥平面BOC，我们可以构造直角三角形，不妨设A′B垂直平面BOC，C′B垂直平面AOB．则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，从而在直角三角形中，利用三角函数表示出相应的边，根据余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²，将相应的边代入化简即可．
解答：解：平面AOB⊥平面BOC，我们设A′B垂直平面BOC′，C′B垂直平面AOB′．
则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根据余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²
所以：OA′²+0C′²-[（OA′sinθ）²+（OC′sinα）²]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=，代入（*）中．可以得到：
cosβ=cosθcosα
故选B．
点评：本题以面面垂直为载体，考查余弦定理的运用，考查勾股定理，属于中档题．