Question

若⊙P：（x-2）²+（y-2）²=18上恰好有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，则l的倾斜角为（　　）

• A．

  π

  12

  或

  π

  6

• B．

  5π

  12

  或

  π

  6

• C．

  π

  12

  或

  π

  4

• D．

  5π

  12

  或

  π

  12

Answer 1

分析：根据⊙P上恰好有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，确定圆心P与直线的距离，然后求出直线的斜率，利用斜率和倾斜角之间的关系确定倾斜角的大小．

解答：解：∵⊙P：（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圆心P（2，2），半径r=

18

=3

2

．
要使⊙P上恰好有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，
则圆心P到直线ax+by=0的距离为3

2

-2

2

=

2

即可．
如图：则AP=BP=

2

，
∵圆心P（2，2），
∴OP=2

2

，
则∠POC=

π

4

，
∵AP=BP=

2

，OP=2

2

，
∴在直角三角形OAP和OBP中，
sin∠AOP=sin∠BOP=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠AOP=∠BOP=

π

6

，
∴l的倾斜角为∠AOC或∠BOC，
∴∠AOC=

π

4

+

π

6

=

5π

12

或∠BOC=

π

4

-

π

6

=

π

12

．
故选：D．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式，以及直线倾斜角的求法，利用数形结合是解决本题的关键．本题若采用点到直线的距离公式直接求a，b之间的关系，运算量较大，不如用数形结合简单．