Question

已知z是复数，满足z+

.

z

-3z•

.

zi

=1-3i，求z及|z|

Answer 1

分析：设a+bi（a，b∈R），由z+

.

z

-3z•

.

zi

=1-3i及复数相等的条件可得关于a、b的方程组，解出a，b可得复数z，由求模公式可得|z|．

解答：解：设a+bi（a，b∈R），
由已知a+i+a-bi-3（a+bi）（a-bi）i=1-3i，
整理得2a-3（a²+b²）i=1-3i，
∴

2a=1 3(a2+b2)=3

，解得

a= 1 2 b=± 3 2

，
所以z=

1

2

±

3

2

i，|z|=1．

点评：本题考查复数代数形式的运算、复数相等的条件及复数求模，属基础题．